Question

已知函数f(x)=

3

sin2x-2cos2x+a（a∈R，a为常数），
（Ⅰ）求函数f（x）的周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-

π

4

，

π

6

]上的最小值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式，将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用三角函数周期公式计算其周期，利用正弦函数的单调区间，通过解不等式求得此函数的单调区间；
（II）先求内层函数的值域，再利用正弦函数的图象和性质，求函数f（x）的最大值，利用已知列方程即可解得a的值

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

sin2x-2cos2x+a
=

3

sin2x-（1+cos2x）+a
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）-1+a
=2sin(2x-

π

6

)+a-1
∴T=

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

∴单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

6

∴-

2π

3

≤2x-

π

6

≤

π

6

∴-1≤sin(2x-

π

6

)≤

1

2

当sin(2x-

π

6

)=-1时，由f（x）_min=-2+a-1=4
得a=7

点评：本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质应用，整体代入的思想方法，属中档题