Question

已知等比数列{a_n}中，a_n＞0，a2=

1

4

，

S4

S2

=

5

4

，则

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+(-1)n+1

1

an

的值为（　　）

• A．2[1-（-2）ⁿ]
• B．2（1-2ⁿ）
• C．

  2

  3

  (1+2n)
• D．

  2

  3

  [1-(-2)n]

Answer 1

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，由a_n＞0，可得q＞0．经验证q=1不成立．由a2=

1

4

，

S4

S2

=

5

4

，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可得

a1q= 1 4 a1(q4-1) q-1 a1(q2-1) q-1 = 5 4

，及q＞0，即可解出a₁及q．进而得到a_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a_n＞0，∴q＞0．经验证q=1不成立．
由a2=

1

4

，

S4

S2

=

5

4

，可得

a1q= 1 4 a1(q4-1) q-1 a1(q2-1) q-1 = 5 4

，及q＞0，解得

a1= 1 2 q= 1 2

．
∴an=a1qn-1=(

1

2

)n．
∴

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+(-1)n+1

1

an

=2-2²+2³+…+（-1）ⁿ⁺¹•2ⁿ
=

2[1-(-2)n]

1-(-2)

=

2

3

[1-(-2)n]．
故选D．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．