题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+
）（x∈R）（A，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）设α，β∈[0，
]，f（3α+π）=
，f（3β+
）=-
；求cos（α-β）的值．
| π |
| 6 |
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）设α，β∈[0，
| π |
| 2 |
| 16 |
| 5 |
| 5π |
| 2 |
| 20 |
| 13 |
分析：（1）依题意，易求ω=
，A=4，于是可得函数y=f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性可求其单调递增区间；
（2）依题意，可依次求得cosα=
，sinβ=
，cosβ=
，利用两角差的余弦计算即可．
| 1 |
| 3 |
（2）依题意，可依次求得cosα=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 12 |
| 13 |
解答：解：（1）依题意得ω=
=
=
，
∴f（x）=Asin（
x+
）；
由f（2π）=2得Asin（
+
）=2，即Asin
=2，
∴A=4，
∴f（x）=4sin（
+
）；
由2kπ-
≤
+
≤2kπ+
（k∈Z）得：6kπ-2π≤x≤6kπ+π（k∈Z），
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[6kπ-2π，6kπ+π]（k∈Z）；
（2）由f（3α+π）=
得，4sin[
（3α+π）+
]=
，即4sin（α+
）=
，
∴cosα=
，
又∵α∈[0，
]，
∴sinα=
；
由f（3β+
）=-
得4sin[
（3β+
）+
]=-
，即sin（β+π）=-
，
∴sinβ=
，
又∵β∈[0，
]，
∴cosβ=
，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
×
+
×
=
．
| 2π |
| T |
| 2π |
| 6π |
| 1 |
| 3 |
∴f（x）=Asin（
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由f（2π）=2得Asin（
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴A=4，
∴f（x）=4sin（
| x |
| 3 |
| π |
| 6 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| x |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴函数y=f（x）的单调递增区间为：[6kπ-2π，6kπ+π]（k∈Z）；
（2）由f（3α+π）=
| 16 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 16 |
| 5 |
| π |
| 2 |
| 16 |
| 5 |
∴cosα=
| 4 |
| 5 |
又∵α∈[0，
| π |
| 2 |
∴sinα=
| 3 |
| 5 |
由f（3β+
| 5π |
| 2 |
| 20 |
| 13 |
| 1 |
| 3 |
| 5π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 20 |
| 13 |
| 5 |
| 13 |
∴sinβ=
| 5 |
| 13 |
又∵β∈[0，
| π |
| 2 |
∴cosβ=
| 12 |
| 13 |
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 13 |
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 13 |
| 63 |
| 65 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与三角函数的化简求值，考查综合运算能力，属于中档题．
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