题目内容

已知a＞0，函数f（x）=-2asin（2x+
π
6
）+2a+b，当x∈[0，
π
2
]时，-5≤f（x）≤1．
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x+
π
2
）且lgg（x）＞0，求g（x）的单调区间．
（1）∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
∴sin（2x+
π
6
）∈[-
1
2
，1]，
∴-2asin（2x+
π
6
）∈[-2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a+b]，又-5≤f（x）≤1．
∴
b=-5
3a+b=1
，解得
a=2
b=-5
．
（2）f（x）=-4sin（2x+
π
6
）-1，
g（x）=f（x+
π
2
）=-4sin（2x+
7π
6
）-1
=4sin（2x+
π
6
）-1，
又由lgg（x）＞0，得g（x）＞1，
∴4sin（2x+
π
6
）-1＞1，
∴sin（2x+
π
6
）＞
1
2
，
∴
π
6
+2kπ＜2x+
π
6
＜
5
6
π+2kπ，k∈Z，
由
π
6
+2kπ＜2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，得
kπ＜x≤kπ+
π
6
，k∈Z．
由
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
＜
5
6
π+2kπ得
π
6
+kπ≤x＜
π
3
+kπ，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为（kπ，
π
6
+kπ]（k∈Z），
单调递减区间为[
π
6
+kπ，
π
3
+kπ）（k∈Z）
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（　　）
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）
已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值．
已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．
已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）当a=
1
8
时
①求f（x）的单调区间；
②证明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．
已知a＞0，函数f(x)=
|x-2a|
x+2a
在区间[1，4]上的最大值等于
1
2
，则a的值为
 
．

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