Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求三棱锥D-AEC的体积；
（2）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）转化顶点，以平面ADC为底，取AB中点O，连接OE，因为OE⊥AB，OE⊥AD，得到OE⊥面ADC，所以OE为底面上高，分别求得底面积和高，再用三棱锥的体积公式求解；
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，证明平面MGE∥平面ADE，可得MN∥平面ADE，从而可得结论．

解答：解：（1）取AB中点O，连接OE．
因为AE=EB，所以OE⊥AB．
因为AD⊥面ABE，OE?面ABE，所以OE⊥AD，
所以OE⊥面ABD．
因为BF⊥面ACE，AE?面ACE，所以BF⊥AE．
因为CB⊥面ABE，AE?面ABE，所以AE⊥BC．
又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．
又BE?面BCE，所以AE⊥EB．
所以△AEB为等腰直角三角形，所以AB=2

2

，所以AB边上的高OE为

2

，
所以V_D-AEC=V_E-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．
（2）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，所以CN=

1

3

CE．
因为MG∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，
所以MG∥平面ADE．
同理，GN∥平面ADE，且MG与GN交于G点，
所以平面MGE∥平面ADE．
又MN?平面MGN，所以MN∥平面ADE．
所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

点评：本题考查三棱锥体积的求法，考查线面平行，转换底面，证明面面平行是关键，属中档题．