题目内容

已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为其前n项的和，a₁=2
（I）证明：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）；
（II）求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有 $数学公式$ 成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

解：（I）∵3S_n=（n+2）a_n，①
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1，②
①-②得：3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
即（n+1）a_n-1=（n-1）a_n，
则有 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
两端同时求积得： $\text{[math]}$ ，
即a_n=n（n+1）．
（II）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
两端同时求和得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即T_n= $\text{[math]}$ ．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，
总有 $\text{[math]}$ 成立．
|T_n-1|=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
则|T_n-1|＜ $\text{[math]}$ 成立，即n＞9．
所以，取M={10，11，12，13，14，…} 即可．
分析：（I）由3S_n=（n+2）a_n，知3S_n-1=（n+1）a_n-1，所以（n+1）a_n-1=（n-1）a_n， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．两端同时求积能够证明a_n=n（n+1）．
（II）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．两端同时求和能够得到数列 $\text{[math]}$ 的前n项和T_n．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，总有 $\text{[math]}$ 成立．|T_n-1|=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，则n＞9．由此能求出无限集合M．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查推理论证能力，有一定的探索性，综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．