Question

已知函数f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)，令log_ax=t，得x=a^t，代入函数解析式即可求得f（x）的解析式；（2）利用函数单调性的定义，在R上任取x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），因式分解，比较其与零的大小，即可求得结果；（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，因为当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，所以f（2）-4=

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，
解此不等式即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）
即f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，

a

a2-1

＞0，f（x）在R上是增函数，
在R上任取x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

（ax1-a-x1）-

a

a2-1

( ax2-  a-x2)

a a2-1 [(ax1-ax2)+( 1 ax2 - 1 ax1 )] = a a2-1 (ax1-ax2)(1+ 1 ax1ax2 )＜0 ∴f(x1)＜f(x2)

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
∴当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=

a

a2-1

（a²-a^-2），
∴f（2）-4=

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，
整理得

a2-4a+1

a

≤0且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，
即[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

点评：此题属于中档题．考查换元法求函数的解析式，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，求函数的最值问题，注意换元时注意引进新变量的范围，利用函数单调性的定义判断函数单调性时，注意结果的化简一般是若干因式积商形式或完全平方式和的形式，同时考查了运算能力．