Question

【题目】数列的前项和为，已知.

（1）试写出；

（2）设，求证：数列是等比数列；

（3）求出数列的前项和为及数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）；

【解析】试题分析：当数列提供与之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出，进而求出通项.

试题解析：

（1）；

（2）由可得，

整理，

所以，又有，

所以数列是等比数列，首项是1，公比为2.

（3）由（2）可知，且，进而，

所以数列的前项和，

当，

当时， 也满足上式.