Question

某学校高一年级组建了A、B、C、D四个不同的“研究性学习”小组，要求高一年级学生必须参加，且只能参加一个小组的活动．假定某班的甲、乙、丙三名同学对这四个小组的选择是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三名同学选择四个小组的所有选法种数；
（2）求甲、乙、丙三名同学中至少有二人参加同一组活动的概率；
（3）设随机变量X为甲、乙、丙三名同学参加A小组活动的人数，求X的分布列与数学期望EX．

Answer 1

分析：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，利用乘法原理可得结论；
（2）求出对立事件的概率，可得结论；
（3）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望EX．

解答：解：（1）甲、乙、丙三名同学每人选择四个小组的方法是4种，故有4³=64种．（4分）
（2）甲、乙、丙三名同学选择三个小组的概率为

A 3 4

43

=

3

8

所以三名同学至少有二人选择同一小组的概率为1-

3

8

=

5

8

．（8分）
（3）由题意X的可能取值为：0，1，2，3
所以P(X=0)=

33

43

=

27

64

，P(X=1)=

C 1 3 •32

43

=

27

64

，
P(X=2)=

C 2 3 •3

43

=

9

64

，P(X=3)=

C 3 3

43

=

1

16

，（12分）
所以X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

故数学期望EX=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．