Question

如图，四棱锥P-ABCD，面PAD⊥面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，AB：AD=

2

：1，F是AB的中点．
（1）求证：面PCD⊥面PAD；
（2）求PC与平面ABCD所成的角；
（3）求二面角P-FC-B的度数．

Answer 1

分析：（1）欲证面PCD⊥面PAD，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，由已知面PAD⊥面ABCD，根据面面垂直的性质，以及底面是矩形，易判断面PCD中的CD垂直面PAD，即可得到要证的结论．
（2）欲求PC与平面ABCD所成的角的大小，只需找到PC在平面ABCD内的射影，PC与它的射影所成角就是PC与平面ABCD所成角．由（1）中PG垂直平面ABCD可知，CG为PC在平面ABCD内的射影，所以∠PCG为所求，再放入Rt△GDC中来解即可．
（3）欲求二面角P-FC-B的大小，只需找到它的平面角，平面角的大小即为二面角的大小，根据二面角的平面角的定义，只需在棱上找一点，过该点分别在两个半平面中作与棱垂直的射线，两射线所成角为所求，按此定义，可判断∠PFG即为二面角P-FC-D的平面角，再放入Rt△VFG中来解即可．

解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，CG．
∵△ADP为正三角形，∴PG⊥AD．
又面PAD⊥面ABCD．AD为交线，
∴PG⊥面ABCD，∴PG⊥CD，又AD⊥CD
∴CD⊥面PAD，∴面PCD⊥面PAD
（2）由（1）∴PG⊥面ABCD，则∠PCG为PC与
平面ABCD所成的角．
设AD=a，则PG=

3

2

a，CD=

2

a．
在Rt△GDC中，GC=

DC2+GD2

=

2a2+ a2 4

=

3

2

a．
在Rt△VGC中，tan∠PCG=

PG

GC

=

3

3

．
∴∠PCG=30°．
即VC与平面ABCD成30°．
（3）连接GF，则GF=

AG2+AF2

=

3

2

a．
而FC=

FB2+BC2

=

6

2

a．
在△GFC中，GC²=GF²+FC²．∴GF⊥FC．
连接PF，由PG⊥平面ABCD知PF⊥FC，
则∠PFG即为二面角P-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，PG=GF=

3

2

a．
∴∠VPG=45°．二面角P-FC-B的度数为135°．

点评：本题主要考查了面面垂直的证明，线面角，二面角的计算，综合考查了学生空间想象力，识图能力，逻辑推理能力，计算能力．