Question

已知三次方程x³+ax²+2x+b=0有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

分析：根据抛物线的离心率为1，得到b=-a-3，将其代入方程将方程因式分解，根据题意，转化为二次方程的实根分布，结合二次函数的图象写出限制条件．
解答：因为抛物线的离心率为1，
所以1是方程x³+ax²+2x+b=0的根，
可知b=-a-3，
x³+ax²+x+b=（x-1）[x²+（a+1）x+a+3]=0，
又椭圆的离心率大于0小于1，双曲线大于1，
所以x²+（a+1）x+a+3=0的两根分别在（0，1）（1，+∞）上
令g（x）=x²+（a+1）x+a+3，
则，
得
故答案为：
点评：本题考查圆锥曲线的离心率的范围，考查二次方程的实根分布问题，属于中档题．