Question

已知函数f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）若2f（1）=f（-1），求a的值；
（2）当a≥1时，判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性；
（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由2f（1）=f（-1），可得：2

2

-2a=

2

+a3a=

2

，a=

2

3

…（4分）
（2）若a≥1，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x12+1

-ax1-

x 22 +1

+ax2=

x12+1

-

x 22 +1

-a(x1-x2)
=

x 21 - x 22

x 21 +1 + x 22 +1

-a(x1-x2)=(x1-x2)(

x1+x2

x 21 +1 + x 22 +1

-a)…（6分）
因为0≤x1＜

x 21 +1

，0＜x2＜

x 22 +1

，所以0＜

x1+x2

x 21 +1 + x 22 +1

＜1…（8分）
因为a≥1，则f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）在[0，+∞）单调递减     …（10分）
（3）任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=(x1-x2)(

x1+x2

x 21 +1 + x 22 +1

-a)，因为f（x）单调递增，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，又x₁-x₂＜0，那么

x1+x2

x 21 +1 + x 22 +1

-a＞0恒成立 （12分）

2

2

＜

x1+x2

x 21 +1 + x 22 +1

＜1，…（14分）   所以0＜a≤

2

2

…（16分）