Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

m

=(b，  2csinB)，  

n

=(cosB，sinC），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

（I）∵

m

∥

n

，∴bsinC=2csinBcosB．（2分）
∴由正弦定理知：sinBsinC=2sinBsinCcosB．
∵B，C（0，π），
∴sinBsinC≠0，∴cosB=

1

2

，（4分）
又0＜B＜π，∴B=

π

3

．（5分）
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=

π

3

．
∴C=

2

3

π-A．
又△ABC为锐角三角形，∴

0＜A＜ π 2 0＜ 2 3 π-A＜ π 2

∴

π

6

＜A＜

π

2

．（8分）
sinA+sinC=sinA+sin(

2

3

π-A)=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)．（10分）
又A+

π

6

∈(

π

3

，  

2

3

π)，
∴sin(A+

π

6

)∈(

3

2

，  1]．
∴sinA+sinC∈(

3

2

，  

3

]．（12分）