Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令bn=

an

2n-1

求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）令cn=

an

an+1

+

an+1

an

证明：2n＜c₁+c₂+…cn＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合n=1时，a₁=S₁=2，可求数列

a

n

的通项公式a_n；
（2）根据数列{b_n}通项的特点，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）根据cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+1

n+2

+

n+1+1

n+1

=

n+1

n+2

+

1

n+1

+1＞1，可证不等式的左边；根据cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+2-1

n+2

+

n+1+1

n+1

=2-

1

n+1

+

1

n+2

，可证不等式的右边．

解答：解：（1）n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

n2+

3

2

n-

1

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)=n+1
n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）bn=

an

2n-1

=

n+1

2n-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

2

20

+ 

3

21

+…+ 

n+1

2n-1

①

1

2

Tn=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

②
①-②得

1

2

Tn=

2

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

∴

1

2

Tn=3-

2

2n

-

n+1

2n

∴Tn=6-

4

2n

-

n+1

2n-1

（3）∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+1

n+2

+

n+1+1

n+1

=

n+1

n+2

+

1

n+1

+1＞1
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=

n+2-1

n+2

+

n+1+1

n+1

=2-

1

n+1

+

1

n+2

∴c₁+c₂+…+c_n=2n+

1

n+2

-

1

2

≤2n+

1

3

-

1

2

＜2n+

1

2

∴2n＜c₁+c₂+…cn＜2n+

1

2

．

点评：本题考查的重点是数列与不等式的综合，解题的关键是根据数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

2

n2+

3

2

n（n∈N^*），利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，利用错位相减法求数列的和，注意不等式证明中的适当放缩．