Question

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）结合抽象表达式用代替x，y不变，即可转化即可获得问题的解答；
（2）首先利用数值的搭配计算f（9）=2，进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调性，结合变形后的抽象函数即可获得变量a的要求，进而问题即可获得解答．
解答：解：（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴
因此，满足 ，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，??
?1＜a＜，
故a的取值范围（1，）
点评：本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、特值的思想、转化的思想以及计算和解不等式组的能力．值得同学们体会和反思．