Question

已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R），
(Ⅰ)当a≤时，讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)设g(x)=x²-2bx+4，当a=时，若对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)，求实数b的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)因为，
所以，
令h(x)=ax²-x+1-a，x∈(0，+∞)，
①当a=0时，h(x)=-x+1，x∈(0，+∞)，
所以当x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
②当a≠0时，由f′(x)=0，即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，，
(ⅰ)当时，x₁=x₂，h(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；
(ⅱ)当时，，x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
(ⅲ)当a＜0时，由于时，h(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)在(1，+∞)上单调递增；
当时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；
当时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)在上单调递增，
函数f(x)在上单调递减；
(Ⅱ)因为，由(Ⅰ)知，x₁=1，x₂=3(0，2)，
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为，
由于“对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)” 等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值”，
又g(x)=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，
所以(ⅰ)当b＜1时，因为[g(x)]_min=g(1)=5-2b＞0，此时与(*)矛盾；
(ⅱ)当b∈[1，2]时，因为[g(x)]_min=4-b²≥0，同样与(*)矛盾；
③当b∈(2，+∞)时，因为[g(x)]_min=g(2)=8-4b，
解不等式，可得；
综上，b的取值范围是。