Question

已知函数f(x)=

x

3x+1

，数列a_n满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得，an+1=

an

3an+1

，从而得到

1

an+1

-

1

an

=3，数列{

1

an

}是首项，公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式数列{a_n}的通项公式即可；
（2）根据anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)利用拆项法即可求出S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1．

解答：解：（1）由已知得，an+1=

an

3an+1

，整理得

1

an+1

-

1

an

=3
∴数列{

1

an

}是首项，公差的等差数列．
∴

1

an

=1+(n-1)×3=3n-2，
故an=

1

3n-2

(n∈N*)（6分）
（2）∵anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

1×4

+

1

4×7

+…+

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

．（13分）

点评：本小题主要考查等差数列的应用、数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．