Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　）
A.bc（b+c）＞8
B.ab（a+b）＞16
C.6≤abc≤12
D.12≤abc≤24

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+ ，

∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+ ，

∴sin2A+sin2B+sin2C= ，

∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）= ，

2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））= ，

化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]= ，

∴sinAsinBsinC= ．

设外接圆的半径为R，

由正弦定理可得： =2R，

由S= ，及正弦定理得sinAsinBsinC= = ，

即R2=4S，

∵面积S满足1≤S≤2，

∴4≤R2≤8，即2≤R≤ ，

由sinAsinBsinC= 可得 ，显然选项C，D不一定正确，

A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，

B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16 ，不一定正确，

故选：A

通过对三角等式的变换可得,由正弦定理即面积公式可得出，由题意得出R的范围，结合选项判断可得出正确答案.