Question

过抛物线x²=2y上两点A（-1，）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．
（1）求证：∠BAM=∠BMA；
（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F₁、F₂为C的两个焦点，B₁、B₂为C的虚轴的两个端点，过点B₂作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵y=x²，
∴y'=x，
切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），
切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），
联立解得M（，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1，
由题意，有m-n=1且4m-4n=1，
解得m=，n=1，
∴双曲线方程为x²-y²=1，
不妨设B₁（0，1），B₂（0，-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴=（-x₁，1-y₁），=（-x₂，1-y₂），
∴=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），
由，
得（-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（-k²）＞0
x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
将x₁+x₂=，x₁x₂=代入，
得=
=
=．
∴=∈（0，4]，
即0＜≤4，
∴，
由①得，或，
由②得k²≤1，或，
故k²≤1，或
解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（）．
分析：（1）由y=x²，知y'=x，切于点A（-1，）的切线方程为y-=-（x+1），切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），联立解得M（，-1），由|BA|=|BM|，能够证明∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1，由题意，知m-n=1且4m-4n=1，故m=，n=1，双曲线方程为x²-y²=1．设B₁（0，1），B₂（0，-1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]，设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），再由根的判别式和韦达定理能求出直线PQ的斜率k的取值范围．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力和论证推导能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是计算量大，容易失误．解题时要认真审题，注意导数的合理运用．