Question

（2013•房山区二模）已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；
（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e，等价于|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ae^x+（ax-2）e^x=（ax+a-2）e^x，
由已知得f'（1）=0，即（2a-2）e=0，
解得：a=1，
验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e^x取得极小值，所以a=1；
（Ⅱ）f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减		增

所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（m）=（m-2）e^m．
当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f_min（x）=f（1）=-e．
当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin(x)=f(m+1)=(m-1)em+1．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin(x)=

(m-2)em， m≥1 -e， 0＜m＜1 (m-1)em+1， m≤0

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e^x，f'（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x．
令f'（x）=0得x=1，
因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，
所以f_max（x）=0，f_min（x）=-e，
所以，对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=e，

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．