Question

  若函数y=为奇函数，

(1)确定a的值；

(2)求函数的定义域；

(3)求函数的值域；

(4)讨论函数的单调性.

Answer 1

(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-=0，

∴2a+=0.

∴a=-.

(2)∵y=--，

∴2^x-1≠0.

∴函数y=--的定义域为{x|x≠0}.

(3)方法一：(逐步求解法)

∵x≠0，

∴2^x-1＞-1.

∵2^x-1≠0，

∴0＞2^x-1＞-1或2^x-1＞0.

∴-->,--<-，

即函数的值域为{y|y＞或y＜-}.

方法二：(利用有界性)由y=--≠-，可得2^x=.

∵2^x＞0，∴＞0.可得y＞或y＜-，

即函数的值域为{y|y＞或y＜-}.

(4)当x＞0时，设0＜x₁＜x₂，则y₁-y₂=.

∵0＜x₁＜x₂，

∴1＜＜.

∴-＜0，-1＞0，-1＞0.

∴y₁-y₂＜0.

因此y=--在(0，+∞)上递增.

同样可以得出y=--在(-∞，0)上递增.

解析:

先将函数化简为y=a-.