Question

13．已知函数f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx，α∈R，又f（α）=-$\frac{1}{2}$，f（β）=$\frac{1}{2}$．若|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，则正数ω的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而f（α），f（β）求得2ωα-$\frac{2π}{3}$和2ωβ-$\frac{2π}{3}$，进而二者相减求得2ωα-2ωβ 的表达式，进而根据|α-β|的最小值为$\frac{3}{4}$代入，根据ω为正整数，则可取k₁=k₂=1，求得答案．

解答 解：f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=cos（2ωx-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
f（α）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（2ωα-$\frac{2π}{3}$）=-1；
∴2ωα-$\frac{2π}{3}$=（2k₁+1）π；
∵f（β）=$\frac{1}{2}$，
∴cos（2ωβ-$\frac{2π}{3}$）=0；
∴2ωβ-$\frac{2π}{3}$=k₂π+$\frac{π}{2}$；
∴2ωα-2ωβ=（2k₁-k₂）π+$\frac{π}{2}$；
∴2ω•|α-β|=（2k₁-k₂） π+$\frac{π}{2}$；
∵|α-β|≥$\frac{3π}{4}$，则：2ω≤$\frac{4}{3π}$[（2k₁-k₂）π+$\frac{π}{2}$]=$\frac{1}{3}$[4（2k₁-k₂）+2]，
ω≤$\frac{1}{3}$[2（2k₁-k₂）+1]，
取k₁=k₂=1，
则可知ω=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力，属于基本知识的考查．