Question

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n²-n+2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多()^n-1a万元.

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年?

Answer 1

解:(1)设甲、乙两超市第n年销售额分别为a_n、b_n，又设甲超市前n年总销售额为S_n，

则S_n=(n²-n+2)(n≥2).因n=1时,a₁=a,则n≥a时,a_n=S_n-S_n-1=(n²-n+2)［(n-1)²-(n-1)+2］=a(n-1),故a_n=

又因b₁=a,n≥2时,b_n-b_n-1=()^n-1a.

故b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n-b_n-1)

=a+a+()²a+…+()^n-1a=［1++()²+…+()^n-1］a

=a=［3-2·()^n-1］a.

显然n=1也适合，故b_n=［3-2·()^n-1］a(n∈N^*).

(2)当n=2时，a₂=a,b₂=a,有a₂＞b₂；当n=3时,a₃=2a,b₃=a,有a₃＞b₃;

当n≥4时,a_n≥3a,而b_n＜3a，故乙超市有可能被收购.

当n≥4时,令a_n＞b_n，则(n-1)a＞［3-2·()^n-1］an-1＞6-4·()^n-1,

即n＞7-4·()^n-1.

又当n≥7时,0＜4·()^n-1＜1,故当n∈N^*且n≥7时,必有n＞7-4·()^n-1.

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购