Question

已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数y=f（2x+）的图象关于直线x=对称．
（1）求φ的值；
（2）若f（a-）=，求sin2a的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…（2分）
∴函数f（x）的最小正周期为2π．…（3分）
∵函数y=f（2x+）=sin[（2x+）+φ]=sin（2x++φ），
且函数y=sin（2x++φ）图象关于直线x=对称，…（5分）
∴x=满足2x++φ=+kπ，k∈Z
代入得++φ=+2kπ，
结合0＜φ＜π取k=1，得φ=…（7分）
（2）∵f（a-）=sin（a-+）=sin（a+），…（9分）
∴sin（a+）=（sina+cosa）=，可得sina+cosa=，…（11分）
两边平方，得（sina+cosa）²=，即sin²a+2sinacosa+cos²a=
∵sin2a=2sinacosa
∴1+sin2a=，解之可得sin2a=-…（14分）
分析：（1）利用两角和的正弦公式合并可得f（2x+）=sin（2x++φ），再用三角函数对称轴方程的公式建立关于φ的等式，结合题意可解出φ=；
（2）将a-代入（1）中求出的表达式，化简整理可得sin（a+）=，结合两角和的正弦公式可得sina+cosa=，再将此式平方，并结合二倍角公式和同角三角函数基本关系，即可算出sin2a的值．
点评：本题给出三角函数图象关于直线x=对称，求φ的值并通过函数解析式求另一个角的正弦值．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，属于中档题．