Question

（2012•上海二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当k1=1时，求S_△AOB的值；
（3）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：

k1

k2

为定值．

Answer 1

分析：（1）根据（2a-3c）+（a-c）i=i，可求a，c的值，利用b²=a²-c²=5，即可求椭圆Γ的方程；
（2）设直线AB的方程为y=x+2，代入椭圆方程，消去y可得14x²+36x-9=0，求出|AB|，O点到直线AB的距离为d，即可求S_△AOB的值；
（3）求出直线AR的方程，代入椭圆方程消去x并整理，从而可得C的坐标，同理可得D的坐标，进而可求斜率，化简，即可得到结论．

解答：（1）解：∵（2a-3c）+（a-c）i=i，∴2a-3c=0且a-c=1，∴a=3，c=2
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆的方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）解：由（1）知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
代入椭圆方程，消去y可得14x²+36x-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

18

7

，x₁x₂=-

9

14

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

30

7

设O点到直线AB的距离为d，则d=

|0-0+2|

2

=

2

∴S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

30

7

×

2

=

15 2

7

；
（3）证明：设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直线AR的方程为y=

y1

x1-1

(x-1)，即x=

x1-1

y1

y+1
代入椭圆方程消去x并整理，得

5-x1

y12

y2+

x1-1

y1

y-4=0
则y₁y₃=-

4y12

5-x1

，∴y₃=

4y1

x1-5

∴x3=

x1-1

y1

y3+1=

5x1-9

x1-5

∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

）
同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2(x1-5)

16(x2-x1)

∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₂（x₂+2），
∴k₂=

4k1(x1+2)(x2-5)-4k2(x2+2)(x1-5)

16(x2-x1)

=

7k1(x2-x1)

4(x2-x1)

=

7k1

4

∴

k1

k2

=

4

7

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．