Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足：sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，且16a²+16b²-13c²=0．若△ABC的面积为

3 15

4

，则a+b-c值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：已知等式左边第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，进而求出sinC的值，利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入表示出

1

2

ab，再利用三角形面积公式列出关系式，将

1

2

ab，sinC及已知面积代入求出c的值，进而确定出a+b的值，即可求出a+b-c的值．

解答：解：已知等式sin（A-B）+2cosAsinB=-2sin2C，
变形得：sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=-4sinCcosC，
即sin（A+B）=sinC=-4sinCcosC，
∵sinC≠0，∴cosC=-

1

4

，sinC=

15

4

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即c²=a²+b²+

1

2

ab，
把16a²+16b²-13c²=0，即a²+b²=

13

16

c²代入得：

1

2

ab=

3

16

c²，
∵△ABC的面积为

3 15

4

，
∴S=

1

2

absinC=

3

16

c²•

15

4

=

3 15

4

，
解得：c=4，ab=6，a²+b²=13，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=12+13=25，
即a+b=5，
则a+b-c=5-4=1．
故选：A

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．