Question

（2013•闸北区二模）已知

a

=（cosθ，sinθ）和

b

=（

2

-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π），且|

a

+

b

|=

8 2

5

，求sinθ的值．

Answer 1

分析：利用向量模的意义和向量的运算法则、倍角公式、平方关系、角所在象限的三角函数值的符号即可得出．

解答：解：由已知得

a

+

b

=(cosθ-sinθ+

2

，sinθ+cosθ)，
∴|

a

+

b

|2=(cosθ-sinθ+

2

)2+（sinθ+cosθ）²
=(cosθ-sinθ)2+2+2

2

(cosθ-sinθ)+（cosθ+sinθ）²
=4+2

2

(cosθ-sinθ)
∴4+2

2

(cosθ-sinθ)=(

8 2

5

)2，
∴cosθ-sinθ=

7 2

25

．
∴(cosθ-sinθ)2=

98

625

，
化为2sinθcosθ=

527

625

＞0．
∵π＜θ＜2π，∴θ∈(π，

3

2

π)．
∴sinθ+cosθ=-

1+2sinθcosθ

=-

24 2

25

．
∴sinθ=-

31 2

50

．

点评：熟练掌握向量模的意义和向量的运算法则、倍角公式、平方关系、角所在象限的三角函数值的符号是解题的关键．