题目内容

（2013•宁波二模）已知空间向量
a
，
b
满足|
a
|=|
b
|=1，且
a
， 
b
的夹角为
π
3
，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足
OA
=2
a
+
b
，
OB
=3
a
-
b
，则△OAB的面积为（　　）
分析：由向量的运算可得|
OA
|，|
OB
|，以及
OA
•
OB
，代入夹角公式可得cos∠BOA，由平方关系可得sin∠BOA，代入三角形的面积公式S=
1
2
|
OA
||
OB
|sin∠BOA，计算可得．
解答：解：由题意可得|
OA
|=
(2
a
+
b
)
2=
4
a
2+2
a
•
b
+
b
2
=
4×12+4×1×1×
1
2
+12
=
7
，
同理可得|
OB
|=
(3
a
-
b
)
2=
9
a
2-6
a
•
b
+
b
2
=
9×12-6×1×1×
1
2
+12
=
7
，
而
OA
•
OB
=（2
a
+
b
）•（3
a
-
b
）=6
a
2+
a
•
b
-
b
2=6×12+1×1×
1
2
-12=
11
2
，
故cos∠BOA=
OA
•
OB
|
OA
||
OB
|
=
11
2
7
•
7
=
11
14
，可得sin∠BOA=
1-(
11
14
)2
=
5
3
14
，
所以△OAB的面积S=
1
2
|
OA
||
OB
|sin∠BOA=
1
2
×
7
×
7
×
5
3
14
=
5
3
4
．
故选B
点评：本题考查平面向量的数量积和三角形面积的求解，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．
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1
4
时，求函数y=f（x）的单调区间；
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x≥1
y≤x-1
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48
48
．
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a
，
b
，则“
a
•
b
=|
a
||
b
|”是“
a
与
b
共线”的（　　）

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