Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为平行四边形，其中AB=

2

，BD=BC=1，AA₁=2，E为DC的中点，F是棱DD₁上的动点．
（1）求异面直线AD₁与BE所成角的正切值；
（2）当DF为何值时，EF与BC₁所成的角为90°？

Answer 1

分析：（1）连结EC₁，根据平行四边形的判定与性质，证出四边形ABC₁D₁是平行四边形，从而得出AD₁∥BC₁，所以∠EBC₁为异面直线AD₁与BE所成的角．由线面垂直的判定与性质，利用勾股定理算出Rt△D₁DB中BE、EC₁的长，利用三角函数的定义加以计算，可得直线AD₁与BE所成角的正切值；
（2）由（1）的结论得BE⊥侧面DCC₁D₁，从而得到BE⊥EF．因此由线面垂直判定定理，可得若EF⊥BC₁则EF⊥平面BEC₁，得到EF⊥EC₁．进而在矩形DCC₁D₁中研究，可得当DF=

1

4

时△DEF∽△CC₁E成立，此时EF⊥EC₁．由此可得当DF=

1

4

时，EF⊥平面BEC₁成立，满足直线EF与BC₁所成的角为90°．

解答：解：（1）连结EC₁，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB

∥

.

CD，CD

∥

.

C₁D₁，
∴AB

∥

.

C₁D₁，可得四边形ABC₁D₁是平行四边形．
∴AD₁∥BC₁，可得∠EBC₁为异面直线AD₁与BE所成的角．
∵BD=BC=1，E为DC的中点，∴BE⊥CD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面CC₁D₁D⊥平面ABCD，平面CC₁D₁D∩平面ABCD=CD，
∴BE⊥侧面DCC₁D₁，
∵EC₁?侧面DCC₁D₁，
∴BE⊥EC₁．
∵AB=CD=

2

，BD=BC=1，
∴△BCD是等腰直角三角形，
可得BE=

2

2

BC=

2

2

，
又∵在Rt△BEC₁中，EC₁=

EC2+CC12

=

3 2

2

，
∴tan∠EBC₁=

EC1

BE

=3，
即直线AD₁与BE所成角的正切值等于3；
（2）∵由（1）知，BE⊥侧面DCC₁D₁，EF?侧面DCC₁D₁，
∴BE⊥EF．
又∵DE=EC=

2

2

，CC₁=AA₁=2．
∴当DF=

1

4

时，CE：DF=CC₁：DE=2

2

，
结合∠EDF=∠C₁CE=90°，
可得△DEF∽△CC₁E，
此时∠DEF+∠CEC₁=90°，可得∠FEC₁=90°，
即EF⊥EC₁．
又∵BE⊥EF，EB∩EC₁=E，
∴EF⊥平面BEC₁，
∵BC₁?平面BEC₁，
∴EF⊥BC₁，可得EF与BC₁所成的角等于90°．
因此当DF=

1

4

时，直线EF与BC₁所成的角为90°．

点评：本题给出特殊的直四棱柱，求异面直线所成角的正切值，并探索两条直线异面垂直的问题．着重考查直棱柱的性质、线面垂直与面面垂直的判定与性质、相似三角形的判定与性质和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．同时考查学生的计算能力与空间想象能力，能正确作出辅助线、得到所求的空间角，是解答本题的关键．