Question

设函数f（x）=ln．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n∈N^*且n≥2时，．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导数的运算法则可得f′（x），可得f（x）在处取得极小值．由已知函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，可得，解得a即可．
（II）由（I）可知：当a=1时，f（x）=在[1，+∞），可得当x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，即．取（n≥2），解出x，利用累加求和和对数的运算法则即可得出．
解答：解：==（x＞-1）．
∴f（x）在上为减函数，在为增函数．
∴f（x）在处取得极小值．
（I）由函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴，解得a≥1．
∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
（II）由（I）可知：当a=1时，f（x）=在[1，+∞），
∴当x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，即．
取（n≥2），则，，
即当n≥2时，（n≥2）．
∴+…+=lnn．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性研究函数的单调性、极值、累加求和是解题的关键．