Question

三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此三棱锥沿三条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形p₁p₂p₃A，如图．
（1）求证：PB⊥AC
（2）求PB与面ABC所成角的大小．
（3）（只理科做）求三棱锥P-ABC外接球的面积．

Answer 1

分析：（1）先证明BP⊥平面PAC，观察展开图发现P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C，故BP⊥PC，BP⊥PA；再证明PB⊥AC，利用线面垂直的定义即可
（2）先求三棱锥的棱长AP，AC，PC，利用展开图，再作出线面角的平面角，即作PO⊥平面ABC，连接BO交AC于D，连接PD，则∠PBO为PB与面ABC所成角，最后在△PAC中计算∠PBO即可
（3）先计算△PAC的外接圆直径，利用平面几何知识即可，再证明BM为球的直径，设△PAC的外接圆圆心为Q，球心为O．连接PQ并延长交球面于M，连BM，OQ，因为BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，所以BP∥OQ，从而平面BPM是球的一个大圆，BM为球的直径，最后在△BPM中计算球的直径BM的长，进而求球的表面积

解答：解：（1）证明：由展开图知：P₁B⊥P₁A，P₂B⊥P₂C
∴BP⊥PC，BP⊥PA，∴BP⊥平面PAC
∵AC?平面PAC，∴PB⊥AC
（2）设PA=AC=AP₃=x，P₃C=y
作AE⊥CP₃，则E为CP₃的中点
∴x²-(

y

2

)2=16，且x=y+

y

2

，解得 x=3

2

，y=2

2

即PA=AC=3

2

，PC=2

2

作PO⊥平面ABC，连接BO交AC于D，连接PD
∴∠PBO为PB与面ABC所成角
∵BP⊥平面PAC，易证AC⊥BD，AC⊥PD
在△PAC中，

1

2

×2

2

×4=

1

2

×3

2

×PD
∴PD=

8

3

∴tan∠PBO=

PD

PB

=

4

3

，
∴∠PBO=arctan

4

3

（3）设△PAC的外接圆圆心为Q，球心为O．连接PQ并延长交球面于M，连BM，OQ
∵BP⊥平面PAC，OQ⊥平面PAC，∴BP∥OQ
∴平面BPM是球的一个大圆
在△BPM中，BP=2，PM=

9

2

∴BM=

22+( 9 2 )2

=

97

2

，∴球半径R=

97

4

∴球的表面积S=4πR²=

97π

4

点评：本题综合考察了立体几何中的折叠问题，直线与平面所成的角的求法，三棱锥的外接球的半径的求法等知识和技能，解题时要具有较强的空间想象能力，熟练地将空间问题转化为平面问题加以解决