Question

已知角α的终边上一点p（x，y），且原点O到点P的距离为r，求m=

y2+rx

r2

的最大与最小值．

Answer 1

分析：根据已知结合三角函数的定义，可得sinα=

y

r

，cosα=

x

r

，则m=

y2+rx

r2

可化为sin²α+cosα，令t=cosα，t∈[-1，1]，可将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，结合二次函数的图象和性质可得答案．

解答：解：∵角α的终边上一点p（x，y），且原点O到点P的距离为r，
∴sinα=

y

r

，cosα=

x

r

∴m=

y2+rx

r2

=sin²α+cosα=1-cos²α+cosα
令t=cosα，t∈[-1，1]
则m=-t²+t+1，
当t=

1

2

时，m取最大值

5

4

当t=-1时，m取最小值-1

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，熟练掌握三角函数的定义及同角三角函数的基本关系，利用换元法将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，是解答的关键．