Question

已知函数f(x)=

1-2x

1+2x

（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）看f（-x）与f（x）的关系即可．
（2）先把f（x）分离常数，再由复合函数的单调性可得
（3）先把f（x）分离常数，再对每一部分求函数值，最后综合即可．

解答：解：（1）∵定义域是实数集且f（-x）=

1-2-x

1+2-x

=

2x- 1

2x+1

=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（2）∵f（x）=

1-2x

1+2x

=1-

2×2x

1+2x

=1-

2

1+2-x

又∵y=2^-x在实数集上是减函数
由复合函数的单调性可得f（x）是减函数．
（3）由y=2^-x在实数集上是减函数且函数值恒为正得1+2^-x＞1，
∴0＜

2

1+2-x

＜2，∴-1＜f（x）＜1
∴f（x）的值域  （-1，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断．判断函数的奇偶性时，应先确定定义域是否关于原点对称：关于原点对称的话，再看f（-x）与f（x）的关系，若f（-x）=f（x）是偶函数，若f（-x）=-f（x）是奇函数．定义域不关于原点对称的话不存在奇偶性．