Question

(本小题满分14分)  设函数.

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ） ；（Ⅱ）；（Ⅲ） ，整数的最大值为3 .

【解析】（1）当时，由导数的几何意义求出

写出切线方程；

（2）当，函数在上是增函数，只需在 上恒成立，可利用二次函数的性质直接求在上最小

值大于或等于0，关键是讨论对称轴与区间的关系；也可以分离参数求最值；

（3）当，易得函数在上递增，要证，只需证，构造，研究单调性求其最小值，只需。

的最大值为3 .

解：（Ⅰ）当时，  所以  即切点为 

 因为 所以  

所以切线方程为  即

（Ⅱ）y=f(x)在[－1，1]上单调递增，又 

方法一：（求函数的最值，即二次函数的动轴定区间最值）依题意在[－1，1]上恒有≥0，即 

①当；所以舍去；

②当； 所以舍去；

③当 

综上所述，参数a的取值范围是。

方法二：（分离参数法）

（Ⅲ）

由于，所以

所以函数在上递增

所以不等式 对恒成立

构造        

构造      

对 ，  所以在递增

所以,

所以,所以在递减

,所以在递增

所以, 结合得到

 

所以对恒成立，  所以 ，整数的最大值为3