Question

已知抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线交于点A（x₁,y₁），B（x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是多少？

Answer 1

解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4,代入y²=4x，得交点为（4，4），（4，-4），所以y₁²+y₂²=16+16=32.

(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-4)与y²=4x联立，消去x得ky²-4y-16k=0，由题意知k≠0,则y₁+y₂=.

y₁y₂=-16,所以y₁²+y₂²=(y₁+y₂)²-2y₁y₂=+32＞32.

综合（1）（2）知（y₁²+y₂²）_min=32.