Question

在△ABC中，若∠C=90°，则cos²A+cos²B=1，在立体几何中，给出四面体的类似性质的猜想，并加以证明。

Answer 1

解：猜想：在四面体P-ABC中，若三个侧棱PA，PB，PC 两两互相垂直，且三个侧面PAB，PBC，PAC分别与底面ABC所成的角为α，β，γ，则，
证明：如图，

作PH⊥面ABC于H点，连接AH延长交BC于M点，
由PA与PB，PC垂直，可证明PA⊥面PBC，
所以PA⊥BC，
又PH⊥BC，
则BC⊥面PAH，
故AM⊥BC，PM⊥BC，则∠PMA为β，


故，
同理，可得，
则
 ，
，，，
=1。