Question

如下图，从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；　　

(3)设Q是椭圆上一点，当QF2AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20，求此时椭圆的方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)欲求e=，需寻求a、c之间的关系，联系已知条件，应从0M∥AB入手。 ∵MF1⊥x轴,∴xM=－c，代入椭圆方程，得yM=，∴kOM=，。 ∵OM∥AB，∴，∴b=c，从而a=故e=。 (2)因∠F1QF2是△F1QF2的一个内角，故可考虑解△F1QF2求之。 设，，，则r1+r2=2a，.据余弦定理，得 当且仅当r1=r2时上式成立，    ∴0≤cosθ≤1，θ∈[0，]。 (3)可用待定系数法求椭圆的方程，∵b=c，a=c，故可设椭圆的方程为。 ∵PQ⊥AB，∴，则PQ的方程为y=(x－c) お。代入椭圆的方程，整理，得，据弦长公式，得。 又点F1到PQ的距离d＝， ∴S△F1PQ=。 由，得c2=25， 2c2=50 故所求椭圆的方程为。