Question

如图2-3-1,在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P为DD₁的中点,O为ABCD的中心,求证:B₁O⊥平面PAC.

图2-3-1

Answer 1

思路分析:要证B₁O⊥平面PAC,只需证B₁O垂直于平面PAC中的两条相交直线.

证明:连结AB₁、CB₁,设AB=1.

因为AB₁=CB₁=,AO=CO,所以B₁O⊥AC.连结PB₁.

因为OB₁²=OB²+BB₁²=,PB₁²=PD₁²+B₁D₁²=,OP²=PD²+DO²=,

所以OB₁²+OP²=PB₁².

所以B₁O⊥PO.所以B₁O⊥平面PAC.

  绿色通道:线面垂直可转化为线线垂直.应用勾股定理的逆定理,通过计算得出垂直也是证明垂直的常用手段.