Question

【题目】已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为 (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆于另一点 ①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，.为定值；②求面积的最小值。

Answer 1

【答案】(1)(2) ①见解析②

【解析】

(1)根据条件列关于a,b,c的方程组解得a,b，即得结果，(2) ①先设直线方程：，再根据直线与椭圆相切得关系，并解得P点坐标，最后根据斜率公式计算.为定值，②先确定三角形为直角三角形，再利用弦长公式计算PQ,根据面积公式得函数关系式，最后根据函数单调性确定最小值.

解：（1）由题意得，

所以椭圆方程为

（2）①证明：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

因为点在直线上，则，

联立直线与椭圆可得

因为直线与椭圆只有一个交点，所以，即，

由韦达定理得，

又因为过右焦点，则

而，所以.

②因为F(2,0),所以，，所以，即,

所以三角形的面积,，

因为，所以方程为，设

与椭圆方程联立得，

则，，，

所以

令，则，令，因此当时，面积取最小值.