Question

（2012•朝阳区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，c=

2

，a²-b²=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；
（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x-1），代入

x2

3

+y2=1，利用韦达定理及斜率公式可得结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，c=

2

，a²-b²=2，
∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴b=|OM|=1，
∴a=

3

．…（3分）
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，由

x=1 x2 3 +y2=1

解得x=1，y=±

6

3

．
设A(1，

6

3

)，B(1，-

6

3

)，则k1+k2=

2- 6 3

2

+

2+ 6 3

2

=2为定值．…（5分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入

x2

3

+y2=1整理化简，得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．…（6分）
依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-3

3k2+1

．…（7分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以k1+k2=

2-y1

3-x1

+

2-y2

3-x2

=

(2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1)

(3-x1)(3-x2)

=

[2-k(x1-1)](3-x2)+[2-k(x2-1)](3-x1)

9-3(x1+x2)+x1x2

=

12-2(x1+x2)+k[2x1x2-4(x1+x2)+6]

9-3(x1+x2)+x1x2

=

12-2(x1+x2)+k[2× 3k2-3 3k2+1 -4× 6k2 3k2+1 +6]

9-3× 6k2 3k2+1 + 3k2-3 3k2+1

=

12(2k2+1)

6(2k2+1)

=2．．…．…（13分）
综上得k₁+k₂为常数2..…．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理是关键．