Question

已知椭圆C的长轴两端点为A、B．若C上存在一点Q，且∠AQB=120°，求椭圆C的离心率的范围．

Answer 1

分析：由对称性不防设Q在x轴上方，坐标为（x₀，y₀），进而可表示出tan∠AQB整理出关于x₀和y₀的关系式，同时把Q点代入椭圆方程，表示出y₀进而根据y₀的范围确定a和c的不等式关系，求得离心率的范围．

解答：解：由对称性不防设Q在x轴上方，坐标为（x₀，y₀），
则tan∠AQB=

kQB-kQA

1+ kQB KQA

=-

3

，即

y0 x0-a -  y0 x0+a

1+ y0 x0-a • y0 x0+a

=-

3

整理得

2ay0

x 2 0 -a2+y 20

=-

3

，①
∵Q在椭圆上，
∴

x

2 0

=a2(1-

y 2 0

b2

)，代入①得y₀=

2ab2

3 c2

，
∵0＜y₀≤b
∴0＜

2ab2

3 c2

≤b，化简整理得3e⁴+4e²-4≥0，
解得

6

3

≤e＜1

点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及了直线的斜率和基本不等式等知识，难度不大但计算较繁琐，考查了学生的运算能力．