Question

已知圆C：x²+y²-4y-12=0
（1）求圆C的圆心坐标和半径长；
（2）求直线l：y=2x-3被圆C截得的弦AB的长；
（3）过点P（4，1）向圆C引切线，求切线方程．

Answer 1

分析：（1）把圆C：x²+y²-4y-12=0化为标准方程，即可求圆C的圆心坐标和半径长；
（2）利用圆心到直线的距离与半径的关系，求直线l：y=2x-3被圆C截得的弦AB的长；
（3）分两种情况考虑：当满足题意的切线方程的斜率不存在时，显然x=-1满足题意；当斜率存在时，设切线方程的斜率为k，由P的坐标和k表示出切线的方程，根据圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出此时切线的方程，综上，得到所有满足题意的切线方程．

解答：解：（1）由圆的方程x²+y²-4y-12=0可得x²+（y-2）²=16．
∴圆心坐标为（0，2），半径为4．
（2）直线l：y=2x-3被圆C截得的弦AB的长与圆的半径弦心距满足勾股定理；
∴|AB|=2×

42-( |2+3| 22+12 )2

=2

11

．
（3）当过P的圆C的切线方程的斜率不存在时，显然x=4满足题意；
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
∴切线方程为y-1=k（x-4），即kx-y-4k+1=0，
∴圆心C到切线的距离d=r，即

|-2-4k+1|

k2+1

=4，
解得：k=

15

8

，
此时切线方程为：

15

8

x-y-4×

15

8

+1=0，即15x-8y-52=0，
综上，满足题意的切线方程为x=4或15x-8y-52=0、

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，切线的性质，勾股定理，以及直线的点斜式方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的题．