Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，数列{a_n}满足a_n＞0
且a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由f（x）=3x²+bx+1是偶函数，知f（x）=3x²+1．由g（x）=5x+c是奇函数，知g（x）=5x．所以f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n³）=3（a_n+a_n+1）³+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．由此入手能求出{a_n}的通项公式．

解答：解：∵f（x）=3x²+bx+1是偶函数，
∴f（-x）=f（x）
即3（-x）²+b（-x）+1=3x²+bx+1，b=0．
∴f（x）=3x²+1．（2分）
∵g（x）=5x+c是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），
即5（-x）+c=-（5x+c），c=0．
∴g（x）=5x．（4分）
f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=3（a_n+a_n+1）²+1-5（a_n+1a_n+a_n²）=1．
∴3a_n+1²+a_na_n+1-2a_n²=0．∴（3a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）=0．∴

an+1

an

=

2

3

．（10分）
∴{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列．（12分）
{a_n}的通项公式为a_n=(

2

3

)n-1．（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，注意认真审题，仔细求解．