Question

已知矩阵A=（

1 -1

 

2 4

），向量α=（

7 4

）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和对应的一个特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁵α的值．

Answer 1

分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为2和3，然后根据特征向量线性表示出向量β，利用矩阵的乘法法则求出β=3α₁+α₂从而A⁵β中求出值即可．

解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

λ-1 -2 1 λ-4

=λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，α₁=

2   1

，当λ₂=3时，得α₂=

1   1

．
（2）由β=mα₁+nα₂=m

2   1

+n

1   1

=

7   4

，
得：

2m+n=7 m+n=4

解得

m=3 n=1

，则β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3（

λ

5 1

α₁）+

λ

5 2

α₂=3×2⁵

2   1

+3⁵

1   1

=

435   339

．

点评：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．