Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，且过点（-1，4），函数g（x）=x+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（2^x）+g（2^x+1）的值域；
（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_i）-m（x_i-1）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）是否为在[1，2]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，满足f（-x）=f（x），且过点（-1，4），求出a，b值，可得f（x）的解析式；
（2）求出函数y=f（2^x）+g（2^x+1）的解析式，利用换元法结合二次函数的图象和性质，可得函数的值域；
（3）结合已知中有界变差函数的定义，结合函数f（x）在[1，2]上单调性，可得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=3，进而得到M的最小值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+3是偶函数，
∴对任意x∈R，f（-x）=f（x）
∴ax²-bx+3=ax²+bx+3
即-b=b
解得：b=0
∴f（x）=ax²+3，…（2分）
把点（-1，4）代入得a+3=4，解得a=1
∴f（x）=x²+3       …（4分）
（其他解法如：因为f（x）是R上的偶函数，所以b=0，也可得分）
（2）y=f（2^x）+g（2^x+1）=（2^x）²+3+2^x+1+4=（2^x）²+2•2^x+7     …（5分）
设t=2^x，则t＞0，
则y=t²+2t+7=（t+1）²+6＞7
∴函数y=f（2^x）+g（2^x+1）的值域为（7，+∞）     …（9分）
（3）函数f（x）=x²+3为[1，2]上的有界变差函数．…（10分）
∵函数f（x）为[1，2]上的单调递增函数，
且对任意划分T：1=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=2，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（2），
∴

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(xn)-f(xn-1)=f（x_n）-f（x₀）=f（2）-f（1）=7-4=3，…（12分）
∴存在常数M≥3，使得

n

i=1

|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
∴M的最小值为3．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的奇偶性的性质，函数的值域，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．