Question

已知x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1，若不等式m²+6m-x-y＜0恒成立，则实数m的取值范围是

-8＜m＜2

．

Answer 1

分析：由x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1可得x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

9x

y

+

y

x

，利用基本不等式可求x+y得最小值，而m²+6m-x-y＜0恒成立?m²+6m＜x+y恒成立?m²+6m＜（x+y）_min，从而可求m的范围

解答：解：∵x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1
∴x+y=（x+y）（

1

x

+

9

y

）=10+

9x

y

+

y

x

≥10+2

9x y • y x

=16
当且仅当

9x

y

=

y

x

即y²=9x²时取等号“=”
∵x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1，此时x=4，y=12
∵m²+6m-x-y＜0恒成立即m²+6m＜x+y恒成立
只要使m²+6m＜（x+y）_min=16
由m²+6m＜16可得-8＜m＜2
故答案为：-8＜m＜2

点评：本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立?m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立?m≥f（x）的最大值），体现出函数 恒成立与最值的相互转化，解题的关键是利用“1”的变形及基本不等式求解函数的最小值．