Question

已知函数f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入f（x）中确定出解析式，把x=2代入求出的解析式中得到f（2）的值，进而得到切点坐标，然后求出f（x）的导函数，把x=2代入导函数即可求出切线的斜率，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值，由a大于0判断出求出的x的值的大小，由x的值分区间讨论导函数的正负，根据函数的增减性，得到函数的极小值和极大值，由f（x）有三个零点，根据极大值大于0，得到极小值小于0，列出关于a的不等式求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x3-

3

2

x2+1，f(2)=3；
得到f′（x）=3x²-3x，
则f′（2）=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=6（x-2），即y=6x-9；
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

，
因a＞0，则0＜

1

a

．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如表：

X	（-∞，0）	0	(0， 1 a )	1 a	( 1 a ，+∞)
F’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

又f（0）=1，f(

1

a

)=1-

1

2a2

，
若要f（x）有三个零点，只需f(

1

a

)=1-

1

2a2

＜0即可，
解得a2＜

1

2

，又a＞0．
因此0＜a＜

2

2

．
故所求a的取值范围为{a|0＜a＜

2

2

}．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，掌握函数零点的判断定理，是一道中档题．