题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=
，CD=1，求c的值．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=
| π |
| 6 |
（Ⅰ）方法一：
∵
=
=
，
∴
=
，
=
．
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2
-
)cosB=cosC．
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB=
．
∵B∈（0，π），∴B=
．
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a-c)
=b
，
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB=
=
，
∵B∈（0，π），∴B=
，
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，
=
，
=
．
由（Ⅰ）知：B=
．
∵点D为BC边的中点，∠CAD=
，∴∠ABC=π--
-
-C=
-C，
∴
=
，
=
，
化简得sin2C=
，
∵C∈(0，
)，∴2C∈（0，π），
∴2C=
或
，即C=
或C=
，
当C=
时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；
当C=
时，∠BAD=
-
=
，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．
综上得，c=2或c=1．
∵
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴
| a |
| b |
| sinA |
| sinB |
| c |
| b |
| sinC |
| sinB |
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2
| sinA |
| sinB |
| sinC |
| sinB |
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B=
| π |
| 3 |
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a-c)
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
化简得 a2+c2-b2=ca，
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵B∈（0，π），∴B=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，
| CD |
| sin∠CAD |
| AD |
| sinC |
| BD |
| sin∠BAD |
| AD |
| sinB |
由（Ⅰ）知：B=
| π |
| 3 |
∵点D为BC边的中点，∠CAD=
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| 1 | ||
sin
|
| AD |
| sinC |
| 1 | ||
sin(
|
| AD | ||
sin
|
化简得sin2C=
| ||
| 2 |
∵C∈(0，
| π |
| 2 |
∴2C=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
当C=
| π |
| 3 |
当C=
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
综上得，c=2或c=1．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |