Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G，
(1)求证：AE⊥平面BCE；
(2)求证：AE∥平面BFD；
(3)求三棱锥E-ADC的体积。

Answer 1

(1)证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE。
(2)证明：连接CF，∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥CE，
∵BE=BC，
∴F为EC的中点，易知G为AC的中点，
∴GF∥AE，
∵AE平面BFD，GF平面BFD，
∴AE∥平面BFD；
(3)解：取AB中点O，连接OE，
∵AE=EB，
∴OE⊥AB，
∵AD⊥平面ABE，
∴OE⊥AD，∴OE⊥平面ADC，
∵AE⊥平面BCE，
∴AE⊥EB，
∴，∴，
故三棱锥E-ADC的体积为：。