Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

．
（1）若f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，求a的值；
（2）求此函数的最小正周期 及单调减区间；
（3）求函数f（x）[-

π

4

，π]的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，可求α的值；
（2）利用函数解析式，可求此函数的最小正周期及单调减区间；
（3）根据[-

π

4

，π]，x+

π

4

∈[0，

5π

4

]，利用正弦函数的性质，即可求出最小值．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cosx=

2

2

sin(x+

π

4

)，
∵f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，
∴sin(x+

π

4

)=

1

2

，
∴α=

7π

12

；
（2）T=

2π

1

=2π，
由x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函数单调减区间为[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

4

，π]，∴x+

π

4

∈[0，

5π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

2

sin（x+

π

4

）∈[-

1

2

，

2

2

]，
∴函数在[-

π

4

，π]上的最小值为-

1

2

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．